Question

在銳角△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，且

3

a=2csinA
（Ⅰ）求∠C
（Ⅱ）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，根據sinA不為0求出sinC的值，由C為銳角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（Ⅱ）由C的度數求出sinC與cosC的值，利用余弦定理列出a與b的關系式，將已知a+b=ab兩邊平方，整理得到另一個關系式，聯立兩式求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理有：

3

sinA=2sinAsinC，即sinC=

3

2

，
∵在銳角△ABC中，∠C為銳角，
則∠C=

π

3

；
（Ⅱ）∵sinC=

3

2

，cosC=

1

2

，c=2，a+b=ab，
∴由余弦定理及已知條件得c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4…①，
由a+b=ab平方可，化簡得：a²+b²=（ab）²-2ab…②，
聯立①②可得ab=4，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．