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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在△ABC中，給出如下命題：
①若
AC
•
AB
＞0，則△ABC為銳角三角形；
②O是△ABC所在平面內一定點，且滿足
OA
•
OB
=
OB
•
OC
=
OC
•
OA
，則O是△ABC的垂心；
③O是△ABC所在平面內一定點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞)，則動點P一定過△ABC的重心；
④O是△ABC內一定點，且
OA
+
OB
+
OC
=
0
，則
S△AOC
S△ABC
=
1
3
；
⑤若(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
，則△ABC為等腰直角三角形．
其中正確的命題為
②③④
②③④
（將所有正確命題的序號都填上）．
分析：①由數量積可以判斷三角形的內角關系．②將向量進行化簡，得到向量垂直關系．③將向量進行化簡，得到向量共線關系．④將向量進行化簡，得到向量共線關系，根據共線關系確定，O為重心．⑤利用平面向量的數量積公式，可推出向量垂直，進而判斷三角形的邊角關系．
解答：解：①若
AC
•
AB
＞0，則得出角A為銳角，但無法判斷B，C都是銳角，所以①錯誤．
②由
OA
?
OB
=
OB
?
OC
，得(
OA
-
OC
)?
OB
=0，即
AC
?
OB
=0，所以
AC
⊥
OB
．同理可知
AB
⊥
OC
，所以O是△ABC的垂心，所以②正確．
③由動點P滿足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞)，
得
OP
-
OA
=λ(
AB
+
AC
)，即P的軌跡是直線AD，而AE是△ABC的中線，
因此P的軌跡（即直線AD）過△ABC的重心．所以③正確．
④由
OA
+
OB
+
OC
=
0
，得
OC
+
OB
=-
OA
=
AO
在三角形ABC中，E是邊BC的中點，則
AO
=2
OE
，即O是三角形ABC的重心，所以
S△AOC
S△ADC
=
2
3
，
S△ADC
S△ABC
=
1
2
，所以
S△AOC
S△ABC
=
S△AOC
S△ADC
×
S△ADC
S△ABC
=
2
3
×
1
2
=
1
3
，所以④正確．
⑤由(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)•
BC
=0，可知角A的角平分線垂直于BC，所以AB=AC．由
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
，可得cos?A=
1
2
，解得
A=
π
3
，所以△ABC為等邊三角形，所以⑤錯誤．所以正確的命題為②③④．
故答案為：②③④．
點評：本題主要考查平面向量數量積的應用，在做的過程中要利用數形結合的數學思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC⊥BC．側面A1ABB1是邊長為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E，F分別是AB1，BC的中點．  
（1）求證：直線EF∥平面A1ACC1；   
（2）在線段AB上確定一點G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明；  
（3）記三棱錐A-BCE的體積為V，且V∈[
32
，12]，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列三個命題：
①函數y=
1
2
ln
1-cos x
1+cos x
與y=lntan
x
2
是同一函數；
②若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱，則函數y=f（2x）與y=
1
2
g（x）的圖象也關于直線y=x對稱；
③如圖，在△ABC中，
AN
=
1
3
NC
，P是BN上的一點，若
AP
=m
AB
+
2
11
AC
，則實數m的值為
3
11
．
其中真命題是（　　）

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科目：高中數學 來源：福建省廈門六中2011－2012學年高一下學期期中考試數學試題 題型：022

如圖，將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D－ABC中，給出下列三個命題：

①△DBC是等邊三角形；

②AC⊥BD；

③三棱錐D－ABC的體積是．

其中正確命題的序號是________．(寫出所有正確命題的序號)

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，給出了格點△ABC（頂點是網格線的交點）和點A1.

（1）畫出一個格點△A1B1C1，并使它與△ABC全等且A與A1是對應點；

（2）畫出點B關于直線AC的對稱點D，并指出AD可以看作由AB繞A點經過怎樣的旋轉而得到的.

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年北京市西城區普通校高二（上）期中數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC⊥BC．側面A1ABB1是邊長為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E，F分別是AB1，BC的中點．  
（1）求證：直線EF∥平面A1ACC1；   
（2）在線段AB上確定一點G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明；  
（3）記三棱錐A-BCE的體積為V，且，求a的取值范圍．

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