Question

（2012•西城區二模）已知函數f(x)=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，先對函數求導，然后求出 f'（0），即取消在原點處的切線斜率，可求得曲線y=f（x）在原點處的切線方程
（Ⅱ）先對函數求導，然后根據導數的符號可判斷函數的單調區間
（III）由（Ⅱ）中函數的單調區間，可求出函數的最值取得的條件，然后可求a的范圍

解答：（Ⅰ）解：當a=1時，f(x)=

2x

x2+1

，f′(x)=-2

(x+1)(x-1)

(x2+1)2

．    …（2分）
由 f'（0）=2，得曲線y=f（x）在原點處的切線方程是2x-y=0．…（3分）
（Ⅱ）解：對函數求導可得，f′(x)=

-2(x+a)(ax-1)

(1+x2)2

                          …（4分）
①當a=0時，f′(x)=

2x

x2+1

．
所以f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減．          …（5分）
當a≠0，f′(x)=-2a

(x+a)(x- 1 a )

x2+1

．
②當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-a，x2=

1

a

，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調減區間是（-∞，-a），(

1

a

，+∞)；單調增區間是(-a，

1

a

)．  …（7分）
③當a＜0時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調增區間是(-∞，

1

a

)；單調減區間是(-

1

a

，-a)，（-a，+∞）．…（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a=0時不合題意．                       …（10分）
當a＞0時，由（Ⅱ）得，f（x）在(0，

1

a

)單調遞增，在(

1

a

，+∞)單調遞減，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值f(

1

a

)=a2＞0．
設x₀為f（x）的零點，易知x0=

1-a2

2a

，且x0＜

1

a

．從而x＞x₀時，f（x）＞0；x＜x₀時，f（x）＜0．
若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得-1≤a≤1．
所以a＞0時，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（0，1]．…（12分）
當a＜0時，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）單調遞減，在（-a，+∞）單調遞增，
所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（-a）=-1．
若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤-1．
所以a＜0時，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范圍是（-∞，-1]．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪（0，1]．                    …（14分）

點評：本題主要考查了函數的導數的幾何意義的應用，導數在函數的單調區間及函數的最值求解中的應用，屬于中檔試題