Question

（2012•西城區二模）對數列{a_n}，如果?k∈N^*及λ₁，λ₂，…，λ_k∈R，使a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+…+λ_ka_n成立，其中n∈N^*，則稱{a_n}為k階遞歸數列．給出下列三個結論：
①若{a_n}是等比數列，則{a_n}為1階遞歸數列；
②若{a_n}是等差數列，則{a_n}為2階遞歸數列；
③若數列{a_n}的通項公式為an=n2，則{a_n}為3階遞歸數列．
其中，正確結論的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：利用等差數列、等比數列和數列{a_n}的通項公式為an=n2的性質，根據k階遞歸數列的定義，逐個進行判斷，能夠求出結果．

解答：解：①∵{a_n}是等比數列，
∴a_n=a1qn-1，a_n+1=qa_n，
∴?k=1，λ=q，使a_n+k=qa_n+k-1成立，
∴{a_n}為1階遞歸數列，故①成立；
②∵{a_n}是等差數列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∴?k=2，λ₁=2，λ₂=-1，使a_n+2=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2成立，
∴{a_n}為2階遞歸數列，故②成立；
③∵若數列{a_n}的通項公式為an=n2，
∴?k=3，λ₁=3，λ₂=-3，λ₃=1，使a_n+3=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+λ₃a_n+k-3成立，
∴{a_n}為3階遞歸數列，故③成立．
故選D．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意正確理解k階遞歸數列的定義．