Question

已知函數在與時，都取得極值．

（1）求的值；

（2）若，求的單調區間和極值；

（3）若對都有恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）f (x)的遞增區間為（－∞，－），及（1，＋∞），遞減區間為（－，1），當x＝－時，f (x)有極大值，f (－)＝；當x＝1時，f (x)有極小值，f (1)＝－；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）函數的極值點是使導數等于0的的值，因此本題中一定有和，由此可解出的值；（2）再由可求出，而求單調區間，很顯然是解不等式（得增區間）或（得減區間），然后可得相應的極大值和極小值；（3）不等式恒成立，實際上就是當時的最大值小于，因此問題轉化為先求在上的最大值，然后再解不等式即可．

試題解析：（1）f ′(x)＝3x²＋2a x＋b＝0．

由題設，x＝1，x＝－為f ′(x)＝0的解．

－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2       3分

經檢驗得：這時與都是極值點．      …4分

（2）f (x)＝x³－x²－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．

∴f (x)＝x³－x²－2 x＋1．

∴f(x)的遞增區間為（－∞，－），及（1，＋∞），遞減區間為（－，1）．

當x＝－時，f (x)有極大值，f (－)＝；

當x＝1時，f (x)有極小值，f (1)＝－        …8分

（3）由（1）得，f′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x³－x²－2 x＋c，

 f (x)在[－1，－及（1，2]上遞增，在（－，1）遞減．

而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．

∴  f (x)在[－1，2]上的最大值為c＋2．∴  ，∴ 

∴ 或∴  或   12分

考點：（1）導數與極值；（2）導數與單調區間；（3）不等式恒成立問題．