Question

一個四棱錐的直觀圖和三視圖如圖所示：

   （1）設PB的中點為M，求證CM是否平行于平面PDA？

   （2）在BC邊上是否存在點Q，使得二面角A—PD—Q為120°？若存在，確定點Q的位置；若不存在，請說明理由

Answer 1

（1）CM平行于平面PDA（2）存在點Q為BC的中點，使二面角A—PD—Q為

解析:

（1）取PA的中點N，連MN、DN，易證MN不平行于CD，…2分

，

//面PDA。        …………4分

   （2）分別以BC、BA、BP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，B為原點，則A（0，2，0），P（0，0，1），D（1，1，0）      ………5分

    假設BC邊上存在點Q，使得二面角A—PD—Q為120°，設Q（x，0，0），，

    平面PDQ的法向量為，

    則由，

    及，得

        …………8分

  

 同理設平面PDA的法向量為…………10分

   

  

 解得

  

 

 

  故存在點Q為BC的中點，使二面角A—PD—Q為 …………12分