Question

一個四棱錐的直觀圖和三視圖如圖所示：

（1）求證：DA⊥PD；

（2）若M為PB的中點，證明：直線CM∥平面PDA；

（3）若PB=1，求三棱錐A﹣PDC的體積．

Answer 1

考點：

直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的性質．

專題：

空間位置關系與距離．

分析：

（1）根據三視圖，得PB⊥面ABCD，可得PB⊥DA．梯形ABCD中，根據題中數據證出BD²+AD²=AB²，從而DA⊥BD，再利用線面垂直判定定理即可證出DA⊥平面PBD，可得DA⊥PD；

（2）取PA中點N，連結MN、DN，利用三角形中位線定理，結合梯形ABCD證出四邊形MNDC是平行四邊形，得CM∥DN，根據線面平行判定定理，即可得到CM∥平面PDA；                  

（3）根據（1）的結論，PB是三棱錐P﹣CDA的高，結合題中數據算出三棱錐P﹣CDA的體積為，即可得到三棱錐A﹣PDC的體積．

解答：

解：由三視圖可知：PB⊥面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PB=BC=CD=1且AB=2

（1）∵PB⊥面ABCD，DA⊂面ABCD，∴PB⊥DA

在梯形ABCD中，PB=BC=CD=1，AB=2

∴BD=，AD=，可得BD²+AD²=4=AB²，

∴DA⊥BD，

又∵PB、BD是平面PBD內的相交直線，

∴DA⊥平面PBD，結合PD⊂平面PBD，可得DA⊥PD；                …（5分）

（2）取PA中點N，連結MN、DN，

∵MN是△PAB的中位線，∴MNAB，

又∵梯形ABCD中，CDAB，

∴MNCD，可得四邊形MNDC是平行四邊形，得CM∥DN，

∵CM⊄平面PDA，DN⊂平面PDA，∴CM∥平面PDA                   …（9分）

（3）∵PB⊥面ABCD，得PB是三棱錐P﹣CDA的高，

∴三棱錐P﹣CDA的體積V_P﹣CDA=S_△CDA×PB==

∴三棱錐A﹣PDC的體積V=V_P﹣CDA=                   …（12分）

點評：

本題在特殊的四棱錐中證明線線垂直、線面平行，并求三棱錐的體積，著重考查了空間直線與直線、直線與平面的位置關系證明和錐體體積的求法等知識，屬于中檔題．