Question

某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需運往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元．該公司該如何合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數，可得最大利潤，最大利潤是多少元？

Answer 1

分析：我們設派x輛甲卡車，y輛乙卡車，利潤為z，根據題意中運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只能送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡需配1名工人；沒送一次可得利潤350元，我們易構造出x，y滿足的約束條件，及目標函數，畫出滿足條件的平面區域，利用角點法即可得到答案．

解答：解：設派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，獲得的利潤為z元，z=450x+350y…（2分）
由題意，x、y滿足關系式

0≤x≤8 0≤y≤7 0＜x+y≤12 10x+6y≥72 0＜2x﹢y≤19 x∈Z，y∈Z

作出相應的平面區域如圖陰影部分所示…（8分）
z=450x+350y=50（9x+7y）
由

x+y=12 2x+y=19

得交點（7，5）…（10分）
∴當x=7，y=5時，450x+350y有最大值4900
答：該公司派用甲型卡車7輛，乙型卡車5輛，獲得的利潤最大，最大為4900元…（12分）

點評：在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數Z與直線截距之間的關系⇒④使用平移直線法求出最優解⇒⑤還原到現實問題中．