Question

當數列{a_n}滿足a₁=

1

3

且n≥2時，a_n=

an-1

2-an-1

 則數列{a_n}通項公式是

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知條件利用遞推思想求出數列的前4項，由此猜an=

1

2n+1

，再用數學歸納法進行證明．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足a₁=

1

3

且n≥2時，a_n=

an-1

2-an-1

，
∴a₂=

1 3

2- 1 3

=

1

5

，
a₃=

1 5

2- 1 5

=

1

9

，
a4=

1 9

2- 1 9

=

1

17

，
由此猜想an=

1

2n+1

．
用數學歸納法證明：
①n=1時，a1=

1

2+1

=

1

3

，成立；
②假設n=k時，成立，即ak=

1

2k+1

，
則n=k+1時，a_k+1=

1 2k+1

2- 1 2k+1

=

1

2k+1+2-1

=

1

2k+1+1

，也成立．
∴an=

1

2n+1

．
故答案為：an=

1

2n+1

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意遞推思想和數學歸納法的合理運用．