Question

下列圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點，雙曲線均以圖中的F₁、F₂為焦點，設圖（1），（2），（3）中的雙曲線的離心率分別為e₁、e₂、e₃．則e₁、e₂、e₃的大小關系為

 

．

Answer 1

分析：根據題設條件，分別建立恰當的平面直角坐標系，求出圖示①②③中的雙曲線的離心率e₁，e₂，e₃，然后再判斷e₁，e₂，e₃的大小關系．

解答：解：①設等邊三角形的邊長為2，以底邊為x軸，以底邊的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
則雙曲線的焦點為（±1，0），且過點（

1

2

，

3

2

），
∵點（

1

2

，

3

2

）到兩個焦點（-1，0），（1，0）的距離分別是

9 4 + 3 4

=

3

和

1 4 + 3 4

=1，
∴a=

3 -1

2

，c=1，∴e₁=

3

+1．
②正方形的邊長為

2

，分別以兩條對角線為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，
則雙曲線的焦點坐標為（-1，0）和（1，0），且過點（

1

2

，

1

2

）．
∵點（

1

2

，

1

2

）到兩個焦點（-1，0），（1，0）的距離分別是

9 4 + 1 4

=

10

2

和

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∴a=

10 - 2

4

，c=1，∴e₂=

10 + 2

2

．
③設正六邊形的邊長為2，以F₁F₁所在直線為x軸，以F₁F₁的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
則雙曲線的焦點為（-2，0）和（2，0），且過點（1，

3

），
∵點（1，

3

）到兩個焦點（-2，0）和（2，0）的距離分別為2

3

和2，
∴a=

3

-1，c=2，∴e₃=

3

+1，
∴e₁=e₃＞e₂．
故答案為：e₁=e₃＞e₂．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，著重考查雙曲線的離心率，求得雙曲線的實軸長與焦距是關鍵，屬于中檔題．