Question

設a∈R，f（x）為奇函數，且．
（1）求a的值及f（x）的解析式和值域；
（2），若時，恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令t=2x，得f （x）=-------------------------------
∵f （x）是奇函數，∴f（0）=0，解之可得a=1
∴函數的解析式為f（x）=-----------------------------
∵由y=解出2^x=＞0，解之得-1＜y＜1
∴值域為 （-1，1）-------------------------------------------------
（2）≤對x∈恒成立
即：≤，
不等式≤對x∈恒成立------
即----①，對于x∈恒成立
由①，得k²≤1-x²對于x∈恒成立---------------------------
∴k²≤1-=，解之得0＜k≤----------------------------------
分析：（1）由奇函數的特性f（0）=0，解出a=1可得f（x）的解析式為f（x）=．再由指數函數的值域，解關于y的不等式即可求出f（x）的值域；
（2）將原不等式化簡，可得≤對x∈恒成立，由此結合對數函數的單調性和定義域，化簡得到k²≤1-x²對于x∈恒成立，可得實數k的取值范圍．
點評：本題給出含有指數式的分式型函數，求函數的奇偶性和值域，并依此討論不等式恒成立時實數k的范圍．著重考查了基本初等函數的單調性、奇偶性和函數恒成立問題等知識，屬于中檔題．