Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，S_n²=an(Sn-

1

2

)（n≥2）
（1）證明數列{

1

Sn

}是等差數列，并求a_n；
（2）設b_n=

Sn

2n+1

，求{b_n}的前n項和T_n；若對任意的n∈N^*都有Tn＜log

1

2

m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，整理該遞推式，由等差數列的定義可作出判斷，根據等差數列通項公式可得

1

Sn

，從而可求S_n，根據an=

S1，n=1 Sn，n≥2

可求a_n；
（2）由（1）可得b_n，利用裂項相消法可求出T_n，進而可求其最大值，問題等價于最大值小于log

1

2

m，解出即可；

解答：（1）證明：

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，整理可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），
∴{

1

Sn

}是等差數列，首項為1，公差為2，
則

1

Sn

=2n-1，所以Sn=

1

2n-1

，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=-

2

(2n-1)(2n-3)

，
所以an=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

；
（2）解：b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
所以T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

，
對任意的n∈N^*都有Tn＜log

1

2

m，只須使log

1

2

m≥

1

2

，
解得0＜m≤

2

2

．

點評：本題主要考查由遞推式求數列通項公式及數列求和，考查轉化思想，裂項相消法對數列求和是高考考查重點內容．