Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，直線L：4x-5y+40=0，若橢圓上的點到直線l的距離最小值為

15 41

41

．

Answer 1

分析：由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交，將直線l：4x-5y+40=0平移，使得其與橢圓相切，則可知切線與直線l的距離最小或最大，故設直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0與橢圓方程聯立，利用判別式為0可求解．

解答：解：由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交，
設直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0   （1）
由方程組

x2 25 + y2 9 =1 4x-5y+k=0

消去y，得25x²+8kx+k²-225=0   （2）
令方程（2）的根的判別式△=0，得64k²-4×25（k²-225）=0  （3）
解方程（3）得k₁=25或k₂=-25，
∴當k₁=25時，直線m與橢圓交點到直線l的距離最近，此時直線m的方程為4x-5y+25=0
直線m與直線l間的距離d=

|40-25|

42+(-5)2

=

15

41

=

15 41

41

故答案為：

15 41

41

點評：本題考查直線和橢圓的位置關系，解題的關鍵是將直線l：4x-5y+40=0平移，使得其與橢圓相切，屬基礎題．