Question

若關于x的方程（2-2^-|x-3|）²=3+a有實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先將a分離出來，再利用換元法令t=2^-|x-3|，則0＜t≤1，將a=（2-2^-|x-3|）²-3轉化成關于t的二次函數，最后利用二次函數的性質求出其值域即可．
解答：解：原方程可化為a=（2-2^-|x-3|）²-3，
令t=2^-|x-3|，則0＜t≤1，a=f（t）=（t-2）²-3，
又∵a=f（t）在區間（0，1]上是減函數，
∴f（1）≤f（t）＜f（0），即-2≤f（t）＜1，
故實數a的取值范圍為：-2≤a＜1．
點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及換元法的應用，屬于基礎題．