Question

（2013•許昌二模）將如圖1的直角梯形ABEF（圖中數字表示對應線段的長度）沿直線CD折成直二面角，連結部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：BE∥面ADF；
（Ⅱ）求二面角D-BF-E的大小．

Answer 1

分析：（I）取DF的中點M，連結AM、EM，可證出EM∥AB且EM=AB，從而得到四邊形ABEM是平行四邊形，得AM∥BE．根據線面平行的判定定理，可證出BE∥平面ADF；
（II）分別以以DA、DC、DF所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，如圖所示．得到A、B、C、E、F各點的坐標，從而得到

AC

、

BE

和

BF

的坐標，利用垂直的兩個向量數量積為零列式，解出

n

=（1，1，1）是平面BEF的一個法向量，而

m

=

AC

=（-1，1，0）是平面BDF的一個法向量，用公式算出

m

、

n

的夾角為90°，從而得到平面BDF與平面BEF互相垂直，即得二面角D-BF-E的大小為90°．

解答：解：（I）取DF的中點M，連結AM、EM，則DM=EC=1且DM∥EC
∴四邊形CDME是平行四邊形，可得EM∥CD且EM=CD
又∵AB∥CD且AB=CD，得EM∥AB且EM=AB
∴四邊形ABEM是平行四邊形，可得AM∥BE
∵AM?平面ADF，BE?平面ADF，∴BE∥平面ADF；
（II）連結AC
∵平面ABCD⊥平面DCEF，ABCD為正方形，DCEF為直角梯形，
∴以DA所在直線為x軸、DC所在直線為y軸、DF所在直線為z軸，
建立空間直角坐標系D-xyz，如圖所示
可得A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，0，1），E（0，1，1），F（0，0，2）
∵AC⊥BD，AC⊥DF，BD、DF是平面BDF內的相交直線
∴AC⊥平面BDF，可得

m

=

AC

=（-1，1，0）是平面BDF的一個法向量
設平面BEF的一個法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • BE =-x+z=0 n • EF =-y+z=0

，取z=1得x=y=1，可得

n

=（1，1，1）
∵cos＜

m

，

n

＞=

| m • n |

|m| • |n|

=

-1×1+1×1+0×1

2 • 3

=0
∴

m

⊥

n

，即平面BDF的法向量與平面BEF的法向量互相垂直
因此，平面BDF與平面BEF互相垂直，可得二面角D-BF-E的大小為90°．

點評：本題以折疊問題為載體，在四棱錐中證明線面平行，并求二面角的大小．著重考查了空間直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定定理和利用空間向量研究平面與平面所成角等知識，屬于中檔題．