Question

（本小題共14分）已知橢圓的左、右焦點分別為，， 點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．          

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點（）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）直線過定點（）．

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。

（1）利用橢圓的性質得到關于系數a,b,c的關系式，然后求解得到橢圓的方程。

（2）對于直線斜率是否存在進行分類討論，然后設出直線與橢圓聯立方程組，借助于韋達定理和斜率的關系式得到直線恒過定點。

解：（Ⅰ）由已知可得 ，

          所求橢圓方程為．                              ………5分

（Ⅱ）若直線的斜率存在，設方程為，依題意．

設，，

由  得 ．    

則．                        ………8分

由已知，所以，

即．                                ………10分

所以，整理得 ．

故直線的方程為，即（）．

所以直線過定點（）．                            ………12分

若直線的斜率不存在，設方程為，

設，，   由已知，

得．此時方程為，顯然過點（）．

綜上，直線過定點（）．                    ………14分