Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）的單調區間．
（2）設g（x）=x

f′(x)

，m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f′（2-x）=f′（x）可得其對稱軸x=1，據此可得b值，求出直線y=4x-12與x軸交點（3，0），則f（3）=0，且f′（3）=4，從而可解得c、d值，根據f′（x）的符號即可求得函數的單調區間；
（2）把g（x）表示為分段函數并作出其圖象，令x2-x=

1

4

，得x=

1+ 2

2

，根據圖象對m進行分類討論，由此可求得其最大值；

解答：解：（1）f′（x）=x²+2bx+c，
∵f′（2-x）=f′（x），∴函數y=f′（x）的圖象關于直線x=1對稱，則b=-1．
∵直線y=4x-12與x軸的交點為（3，0），
∴f（3）=0，且f′（3）=4，即9+9b+3c+d=0①，且9+6b+c=4②，由①②解得c=1，d=-3．
則f（x）=

1

3

x3-x2+x-3．
故f′（x）=x²-2x+1=（x-1）²，所以f（x）在R上單調遞增；
（2）g（x）=x

(x-1)2

=x|x-1|=

x2-x，x≥1 x-x2，x＜1

，
其圖象如圖所示．當x2-x=

1

4

時，x=

1+ 2

2

，根據圖象得：
（ⅰ）當0＜m≤

1

2

時，g（x）最大值為g（m）=m-m²；
（ⅱ）當

1

2

＜m≤

1+ 2

2

時，g（x）的最大值為

1

4

；
（ⅲ）當m＞

1+ 2

2

時，g（x）最大值為m²-m．

點評：本題考查函數的單調性的判斷及函數最值的求解，導數是研究函數有關性質的強有力工具，考查分類討論思想、數形結合思想．