Question

設S_n是數列a_n的前n項和，點P（a_n，S_n）（n∈N₊，n≥1）在直線y=2x-2上．
（Ⅰ）求數列a_n的通項公式；
（Ⅱ）記bn=2(1-

1

an

)，數列b_n的前n項和為T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）設正數數列c_n滿足log₂a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，求數列c_n中的最大項．

Answer 1

分析：（1）依題意得S_n=2a_n-2，則n＞1時，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=2a_n-1，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）依題意bn=2-(

1

2

)n-1，Tn=2n-2+2•(

1

2

)n．由T_n＞2011，得n+(

1

2

)n＞

2013

2

，n≤1006時，n+(

1

2

)n＜

2013

2

，當n≥1007時，n+(

1

2

)n＞

2013

2

，由此能求出n的最小值．
（3）由已知得（c_n）ⁿ⁺¹=n+1即lnc_n^（n+1）=ln（n+1），lncn=

ln(n+1)

n+1

，由此能求出數列{c_n}中的最大項．

解答：（1）解：依題意得S_n=2a_n-2，則n＞1時，S_n-1=2a_n-1-2
∴n≥2時，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，（2分）
又n=1時，a₁=2
∴數列{a_n}是以a₁=2為首項，以2為公比的等比數列，
∴a_n=2ⁿ．（4分）
（2）解：依題意bn=2-(

1

2

)n-1，∴Tn=2n-2+2•(

1

2

)n
由T_n＞2011，得n+(

1

2

)n＞

2013

2

（6分）
n≤1006時，n+(

1

2

)n＜

2013

2

，當n≥1007時，n+(

1

2

)n＞

2013

2

因此n的最小值為1007．（9分）
（3）解：由已知得（c_n）ⁿ⁺¹=n+1即lnc_n^（n+1）=ln（n+1）
∴lncn=

ln(n+1)

n+1

，（11分）
令f(x)=

lnx

x

，x∈[3，+∞），則f′(x)=

1-lnx

x2

，當x≥3時，lnx＞1，即f^(x)＜0
∴當x∈[3，+∞）時，f（x）為遞減函數
∴n＞2時，{c_n}是減數列，（12分）
∵c_n＞0，∴c1=

2

，c2=

3	3

，c3=

4	4

，
∴c₁＜c₂＞c₃
∴c₂為數列c_n中最大項．（14分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．