Question

設S_n是數列{a_n}的前n項和，所有項a_n＞0，且Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

，
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先看n=1時根據a₁=s₁求得a₁，進而根據a_n=s_n-s_n-1求得數列的遞推式整理得a_n-a_n-1=2判斷出數列{a_n}是以3為首項，2為公差之等差數列，則通項公式可得．
（Ⅱ）利用錯位相減法求得數列的前n項的和．

解答：解：（Ⅰ）n=1時，a1=s1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1-

3

4

，解出a₁=3
又4s_n=a_n²+2a_n-1-3①
4s_n-1=a_n-1²+2a_n-3（n≥2）②
①-②4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n+a_n-1＞0
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
∴數列{a_n}是以3為首項，2為公差之等差數列
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（Ⅱ）T_n=3×2¹+5×2²++（2n+1）•2ⁿ+0③
又2T_n=0+3×2²++（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹④
④-③T_n=-3×2¹-2（2²+2³++2ⁿ）+（2n+1）2ⁿ⁺¹=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2

點評：本題主要考查了數列的求和問題．錯位相減法是數列求和常用的方法，當數列是由等比數列和等差數列的積構成的，都可以用錯位相減法進行求和．