Question

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和，若

S2n

Sn

(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱數(shù)列{a_n} 為“和等比數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，則數(shù)列 {b_n}

 

（填“是”或“不是”）“和等比數(shù)列”；
（2）若數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為c₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且數(shù)列 {c_n} 是“和等比數(shù)列”，則d與c₁之間滿足的關(guān)系為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，我們易求出數(shù)列 {b_n}的通項(xiàng)公式，求出S_n后，代入驗(yàn)證即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為c₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且數(shù)列 {c_n} 是“和等比數(shù)列”，我們列出關(guān)于d與c₁的方程，即可得到d與c₁之間滿足的關(guān)系．

解答：解：（1）數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，
則數(shù)列 {b_n}是一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則S_n=n²，則

S2n

Sn

=4，
故數(shù)列 {b_n}是“和等比數(shù)列”；
（2）若數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為c₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且數(shù)列 {c_n} 是“和等比數(shù)列”，
則S_n=

d

2

•n²+（

d

2

+c₁）•n，S_2n=4•

d

2

•n²+2•（

d

2

+c₁）•n，
若

S2n

Sn

(n∈N*)是非零常數(shù)，則d=2c₁
故答案為：（1）是，（2）d=2c₁

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是和等比關(guān)系的確定和性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是正確理解“和等比數(shù)列”的定義，并能根據(jù)定義構(gòu)造出滿足條件的方程．