Question

在△ABC中a、b、c分別內角A、B、C的對邊，已知向量

m

=（c，b），

n

=（sin2B，sinC），且

m

⊥

n

．
（l）求角B的度數；
（2）若△ABC的面積為

3 3

4

，求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用

m

⊥

n

?

m

•

n

=0、正弦定理、三角函數的單調性即可得出；
（2）利用三角形的面積公式、余弦定理、基本不等式的性質即可得出．

解答：解：（1）解：（1）由

m

⊥

n

，得

m

•

n

=csin2B+bsinC=0，
由正弦定理可得

b

sinB

=

c

sinC

，代入上式得sinC2sinBcosB+sinBsinC=0，（*）
∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴sinB≠0，sinC≠0，
∴（*）可化為2cosB+1=0，∴cosB=-

1

2

，∴B=120°．
（2）由S_△ABC=

1

2

acsin120°=

3 3

4

，得ac=3．
又由余弦定理b²=a²+c²-2accos120°=a²+c²+ac≥2ac+ac=3ac=9，
當且僅當a=c=

3

時，等號成立，
所以，b的最小值為3．

點評：熟練掌握三角函數的單調性、正余弦定理、三角形的面積公式、基本不等式的性質、

m

⊥

n

?

m

•

n

=0是解題的關鍵．