Question

設(shè)函數(shù)，，其中為實數(shù).

（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；

（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當(dāng)或時，的零點個數(shù)為1；當(dāng)時，的零點個數(shù)為2.

【解析】（1）∵，考慮到函數(shù)的定義域為，故，進而解得

，即在上是單調(diào)減函數(shù). 同理，在上是單調(diào)增函數(shù).

由于在是單調(diào)減函數(shù)，故，從而，即.

令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，

又在上有最小值，所以，即，

綜上所述，.

（2）當(dāng)時，必是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，令，

解得，即，

∵在上是單調(diào)函數(shù)，類似（1）有，即，

綜合上述兩種情況，有.

①當(dāng)時，由以及，得存在唯一的零點；

②當(dāng)時，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在是單調(diào)增函數(shù)，∴在上存在零點. 另外，當(dāng)時，，則在上是單調(diào)增函數(shù)，只有一個零點.

③當(dāng)時，令，解得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，. ∴是的最大值點，且最大值為.

1)當(dāng)，即時，有一個零點.

2)當(dāng)，即時，有兩個零點. 實際上，對于，由于，，且函數(shù)在上的圖象不間斷，∴在上存在零點.

另外，當(dāng)時，，故在上是單調(diào)增函數(shù)，∴在上有一個零點.

下面需要考慮在上的情況，先證，

為此，我們要證明：當(dāng)時，，設(shè)，則，再設(shè)，則.

當(dāng)時，，∴在上是單調(diào)增函數(shù)，

故當(dāng)時，，從而在上是單調(diào)增函數(shù)，進而當(dāng)

時，，即當(dāng)時，.

當(dāng)，即時，，又，且函數(shù)

在的圖象不間斷，∴在上存在零點.

又當(dāng)時，，故在是單調(diào)減函數(shù)，所以，在上只有一個零點.

綜上所述，當(dāng)或時，的零點個數(shù)為1；當(dāng)時，的零點個數(shù)為2.

【考點定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算及用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)、方程及不等式的相互轉(zhuǎn)化，考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題及推理論證能力.