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已知函數： $數學公式$ ．
（1）證明：f（x）+2+f（2a-x）=0對定義域內的所有x都成立；
（2）當f（x）的定義域為 $數學公式$ 時，求證：f（x）的值域為[-3，-2]；
（3）（理）設函數g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）設函數g（x）=x²+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．

解：（1） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴結論成立
（2） $\text{[math]}$
當 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 即f（x）值域為[-3，-2]．
（3）（理）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
①當 $\text{[math]}$ ．
如果 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 時，則函數在[a-1，a）和（a，+∞）上單調遞增，∴g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²
如果 $\text{[math]}$ ．當 $\text{[math]}$ 時，g（x）最小值不存在．
②當 $\text{[math]}$ ，
如果 $\text{[math]}$ ．
如果 $\text{[math]}$ ．
當 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ．
綜合得：當 $\text{[math]}$ 時，g（x）最小值是 $\text{[math]}$ ；當 $\text{[math]}$ 時，g（x）最小值是（a-1）²；當 $\text{[math]}$ 時，g（x）最小值為 $\text{[math]}$ ；當 $\text{[math]}$ 時，g（x）最小值不存在．
（文）同②
分析：（1）利用函數函數： $\text{[math]}$ ．直接代入化簡即可；
（2）化簡函數的 $\text{[math]}$ ，根據定義域為 $\text{[math]}$ ，
可確定f（x）的值域為[-3，-2]；
（3）利用分類討論，將絕對值符號化去，再利用二次函數配方法求解，應注意函數定義域與函數對稱軸之間的關系．
點評：本題以函數為載體，考查函數的性質，考查函數的值域，同時考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度．

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（I）若b²＞4c-1，討論函數f（x）的單調性；
（II）若b²≤4（c-1），且

lim

x→∞

f(x)-c

=4，試證：-6≤b≤2．

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）=

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1-tanx

由該等式也能推證出y=tanx的周期為π，已知函數y=f（x）滿足f（x+a）=

1+f(x)

1-f(x)

，x∈R．a為非零的常數，根據上述論述我們可以類比出函數f（x）的周期為

．

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（2）記c_n=

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仔細閱讀下面問題的解法：
設A=[0，1]，若不等式2^1-x-a＞0在A上有解，求實數a的取值范圍．
解：由已知可得 a＜2^1-x
令f（x）=2^1-x，不等式a＜2^1-x在A上有解，
∴a＜f（x）在A上的最大值
又f（x）在[0，1]上單調遞減，f（x）_max=f（0）=2
∴a＜2即為所求．
學習以上問題的解法，解決下面的問題：
（1）已知函數f（x）=x²+2x+3 （-2≤x≤-1）求f（x）的反函數及反函數的定義域A；
（2）對于（1）中的A，設g（x）=

10-x

10+x

x∈A，試判斷g（x）的單調性；（不證）
（3）又若B={x|

10-x

10+x

＞2^x+a-5}，若A∩B≠Φ，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•唐山一模）已知函數f(x)=

mx+n

在x=1處取得極值e^-1．
（I ）求函數f（x）的解析式，并求f（x）的單調區間；
（II）當x＞0 時，試證：f（1+x）＞f（1-x）．

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