Question

如圖所示，已知六棱錐P﹣ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，AB=2，PA=2，M是PA的中點．

（1）求證：平面PCD∥平面MBE；

（2）設PA=λAB，當二面角D﹣ME﹣F的大小為135°，求λ的值．

Answer 1

考點：

用空間向量求平面間的夾角；平面與平面平行的判定．

專題：

綜合題．

分析：

（1）證明平面PCD∥平面MBE，利用面面平行的判定定理，證明一個平面內的兩條相交直線平行于另一平面即可；

（2）不妨設AB=2，則PA=2λ，以A為坐標原點，AE，AB，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面DME的法向量，平面FME的法向量為，利用向量夾角公式，建立方程，即可求得結論．

解答：

（1）證明：連接AD交BE于點G，連接MG，則點G是正六邊形的中心，所以G是線段AD的中點

∵M是PA的中點，∴MG∥PD

∵PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE

∴PD∥平面MBE

∵DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE

∴DC∥平面MBE

∵PD∩DC=D

∴平面PCD∥平面MBE；

（2）解：不妨設AB=2，則PA=2λ，在正六邊形ABCDEF中，連接AE，過點F作FH⊥AE，垂足為H，則FH=AFsin∠FAE=1，AH=AFcos∠FAE=，AE=2，以A為坐標原點，AE，AB，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F（，﹣1，0），M（0，0，λ）

∴=（，0，λ），=（0，2，0），=（﹣，﹣1，0）

設平面DME的法向量為，

由得，取z=2，則

同理可得平面FME的法向量為

∴=

∵二面角D﹣ME﹣F的大小為135°

∴

∴λ²=6

∵λ＞0，

∴

點評：

本題考查面面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面平行的判定方法，確定平面的法向量，屬于中檔題．