Question

某鄉為提高當地群眾的生活水平，由政府投資興建了甲、乙兩個企業，1997年該鄉從甲企業獲得利潤320萬元，從乙企業獲得利潤720萬元．以后每年上交的利潤是：甲企業以1.5倍的速度遞增，而乙企業則為上一年利潤的

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3

．根據測算，該鄉從兩個企業獲得的利潤達到2000萬元可以解決溫飽問題，達到8100萬元可以達到小康水平．
（1）若以1997年為第一年，則該鄉從上述兩個企業獲得利潤最少的一年是那一年，該年還需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？
（2）試估算2005年底該鄉能否達到小康水平？為什么？

Answer 1

分析：（1）以1997年為第一年，根據甲企業以1.5倍的速度遞增，而乙企業則為上一年利潤的

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3

，則第n年該鄉從這兩家企業獲得的利潤為yn=320×(

3

2

)n-1+720×(

2

3

)n-1，(n≥1)，利用基本不等式可求兩個企業獲得利潤最少的一年，從而可求還需另籌資金1040萬元可解決溫飽問題．
（2）2005年為第9年，該年可從兩個企業獲得利潤y9=320×(

3

2

)8+720×(

2

3

)8，利用基本不等式可知y₉＞8100
，從而可知該鄉到2005年底可以達到小康水平．

解答：解：（1）若以1997年為第一年，則
∵甲企業以1.5倍的速度遞增，而乙企業則為上一年利潤的

2

3

∴第n年該鄉從這兩家企業獲得的利潤為yn=320×(

3

2

)n-1+720×(

2

3

)n-1，(n≥1)
∴y_n=80[4×(

3

2

)n-1+9×(

2

3

)n-1]≥2×80×

4×( 3 2 )n-1×9×( 2 3 )n-1

=2×80×6=960
當且僅當4×(

3

2

)n-1=9×(

2

3

)n-1，即n=2時，等號成立，
所以第二年（1998年）上交利潤最少，利潤為960萬元．
由2000-960=1040（萬元）知：還需另籌資金1040萬元可解決溫飽問題．
（2）2005年為第9年，該年可從兩個企業獲得利潤y9=320×(

3

2

)8+720×(

2

3

)8＞320×(

3

2

)8=320×

81×81

16×16

=20×

81×81

16

＞20×81×5=8100
所以該鄉到2005年底可以達到小康水平．

點評：本題考查的重點是解決實際問題，解題的關鍵是構建函數模型，利用基本不等式解決最值問題，屬于中檔題．