Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁＝1，a_n+1＝2S_n＋1(n≥1)．

(1)求{a_n}的通項公式；

(2)等差數列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃＝15，又a₁＋b₁，a₂＋b₂，a₃＋b₃成等比數列，求T_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由an+1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減得an+1－an＝2an，an+1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1． 　　故{an}是首項為1，公比為3的等比數列． 　　∴an＝3n－1． 　　(2)設{bn}的公差為d，由T3＝15，可得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5． 　　故可設b1＝5－d，b3＝5＋d． 　　又a1＝1，a2＝3，a3＝9， 　　由題意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d1＝2，d2＝10． 　　∵等差數列{bn}的各項為正， 　　∴d＞0． 　　∴d＝2． 　　∴Tn＝3n＋×2＝n2＋2n．