Question

已知（2x^lgx+lg2+1）ⁿ展開式中最后三項的系數的和是方程lg（y²-72y-72）=0的正數解，它的中間項是104+2lg

2

，求x的值．

Answer 1

分析：先解方程lg（y²-72y-72）=0，（2x^lgx+lg2+1）ⁿ展開式中最后三項的系數分別為C_n^n-2•4，C_n^n-1•2，C_nⁿ，由題意得到關于n的方程，求出n．再利用通項公式寫出中間項，解方程即可．

解答：解：由lg（y²-72y-72）=0得y²-72y-73=0，∴y=-1（舍去）或y=73，
由題意知，C_n^n-2•4+C_n^n-1•2+C_nⁿ=73，∴n=6
已知條件知，其展開式的中間項為第4項，
即

C

3 6

•23•x3(lgx+lg2)=160•x3(lgx+lg2)=104+2lg

2

=2000，
∴lg²x+lg2•lgx+lg2-1=0，∴lgx=-1或lgx=1-lg2=lg5，
∴x=

1

10

或x=5．經檢驗知，它們都符合題意．

點評：本題考查二項式定理的通項公式的應用、及對數運算和對數方程問題，綜合性較強．