Question

在無窮數(shù)列中，，對于任意，都有，. 設(shè)， 記使得成立的的最大值為.
（1）設(shè)數(shù)列為1，3，5，7，，寫出，，的值；
（2）若為等比數(shù)列，且，求的值；
（3）若為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列.

Answer 1

（1），，；（2）；（3）得

試題分析：（1）根據(jù)使得成立的的最大值為，，則，，則，，則，這樣就寫出，，的值；（2）確定，，，，，，分組求和，即可求的值；（3）若為等差數(shù)列，先判斷，再證明，即可求出所有可能的數(shù)列．
（1） ，，.                                       3分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051111231456.png" style="vertical-align:middle;" />為等比數(shù)列，，，
所以，                                                  4分
因?yàn)槭沟?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051111340504.png" style="vertical-align:middle;" />成立的的最大值為，
所以，，，，
，，                        6分
所以.                                   8分
（3）由題意，得，
結(jié)合條件，得.                                       9分
又因?yàn)槭沟?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051111340504.png" style="vertical-align:middle;" />成立的的最大值為，使得成立的的最大值為，
所以，.                                    10分
設(shè)，則.
假設(shè)，即，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051111543471.png" style="vertical-align:middle;" />為等差數(shù)列，
所以公差，
所以，其中.
這與矛盾，
所以.                                                     11分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051112900690.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
由為等差數(shù)列，得，其中.                         12分
因?yàn)槭沟?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051111340504.png" style="vertical-align:middle;" />成立的的最大值為，
所以，
由，得.                                             13分