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已知△OFQ的面積為S，且·＝1．

　　（1）若＜S＜2，求向量與的夾角q 的取值范圍；

　　（2）設＝c（c≥2），S＝c，若以O為中心，F為焦點的橢圓經過點Q，當|｜取得最小值時，求此橢圓的方程．

 

答案：
解析：

解  （1）由已知，得

　　｜｜·｜｜sin（p －q ）＝S，

　　且｜｜·｜｜cosq ＝1，tanq ＝2S，

　　∴  ＜S＜2，

　　∴  1＜tanq ＜4，則  ＜q ＜arctan4．

　　（2）以O為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系．

　　設橢圓方程為（a＞0，b＞0），Q的坐標為（，），則＝（－c，）．

　　∵  △OFG的面積為｜｜·｜｜＝c，

　　∴  ｜｜＝．

　　又由·＝（c，0）·（－c，±）

　　              ＝（－c）c

　　              ＝1，

　　得＝c＋，

　　｜｜

　　        ＝（c≥2）．

　　當且僅當c＝2時，｜｜最小，此時Q的坐標為（，）．

　　由此可得，解得，

　　故橢圓方程為．

　點評  有關長度、角度和垂直的問題都可以用向量的數量積處理．

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）當
6
＜m＜4
6
時，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ的取值范圍；
（2）設|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，若以中心O為坐標原點，焦點F在x非負半軸上的雙曲線經過點Q，當|
OQ
|取得最小值時，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知△OFQ的面積為S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范圍；
（Ⅱ）設|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O為中心，F為一個焦點的橢圓經過點Q，以c為變量，當|
OQ
|取最小值時，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m，?
（1）設
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ的取值范圍；?
（2）設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q（如圖），|
OF
|=c，m=（
6
4
-1）c2，當|
OQ
|取最小值時，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ正切值的取值范圍；
（2）設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q（如圖），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當|
OQ
|取得最小值時，求此雙曲線的方程．
（3）設F1為（2）中所求雙曲線的左焦點，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點，且2|AB|=5|F1F|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•天津一模）已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設4
2
＜m＜4
6
，求向量
OF
•
FQ
夾角θ的取值范圍；
（2）設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q（如圖），若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當|
OQ
|取最小值時，求此雙曲線的方程．

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