Question

已知△OFQ的面積為2

6

，且

OF

•

FQ

=m．
（1）當

6

＜m＜4

6

時，求向量

OF

與

FQ

的夾角θ的取值范圍；
（2）設|

OF

|=c，m=(

6

4

-1)c2，若以中心O為坐標原點，焦點F在x非負半軸上的雙曲線經過點Q，當|

OQ

|取得最小值時，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積的定義和三角形面積公式，推出tanθ的解析式，再根據m的范圍，求得tanθ
的范圍，進而求得θ的取值范圍．
（2）設出雙曲線的標準方程和點Q的坐標，有三角形的面積公式求出點Q的橫坐標和縱坐標（用半焦距表示），用基本不等式求出|

OQ

|最小時點Q的坐標，從而得到雙曲線方程中的待定系數．

解答：解：（1）由已知得

1 2 OF •  FQ sin(π-θ)=2 6 OF  •  FQ cosθ =m

，∴tanθ=

4 6

m

，
∵

6

＜m＜4

6

，∴1＜tanθ＜4，∴

π

4

＜θ＜arctan4．
（2）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），不妨設點Q的坐標為（m，n），
n＞0，則

FQ

=（m-c，n），∵△OFQ的面積為

1

2

|

OF

|•n=2

6

，∴n=

4 6

c

．
又由

OF

•

FQ

=（c，0）•（m-c，n）=c（m-c）=（

6

4

-1）c²，∴m=

6 c

4

，
|

OQ

|=

m2+n2

=

3c2 8 + 96 c2

≥

12

，當且僅當c=4時，|

OQ

|有最小值，
此時，點Q的坐標為（

6

，

6

），由此可得

6 a2 - 6 b2 =1 a2+b2=16

，解得

a2=4 b2=12

，
故所求的方程為：

x2

4

-

y2

12

=1．

點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，三角形的面積公式以及基本不等式的應用，用待定系數法求雙曲線的方程．