Question

函數f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

) ，  x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（α）=

2 10

5

，α∈( 0 ， 

π

2

)，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：先對函數f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）利用誘導公式以及輔助角公式進行化簡整理得到 f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)；
（1）直接代入周期的求法公式即可；
（2）先由f（α）=

2 10

5

，α∈( 0 ， 

π

2

)，求出Sinα和cosα的值；再對cos(2α+

π

4

)利用兩角和的余弦公式展開，把所求Sinα和cosα的值代入即可得到結論．

解答：解：∵f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）
=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

sin（

x

2

+

π

4

）．
∴f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
（1）∴T=

2π

1 2

=4π．
（2）由f（α）=cos

α

2

+sin

α

2

=

2 10

5

．
兩邊平方整理得：1+sinα=

8

5

，所以sinα=

3

5

．
又因為α∈( 0 ， 

π

2

)
∴cosα=

1-sin 2α

=

4

5

．
∴cos（2α+

π

4

）=

2

2

（cos2α-sin2α）
=

2

2

[（cos²α-sin²α）-2sinαcosα]
=

2

2

[（(

4

5

)2-(

3

5

)2）-2×

4

5

×

3

5

]
=-

17 2

50

．

點評：本題主要考查運用誘導公式化簡求值以及三角函數的周期性及其求法．是對三角函數的常用結論以及公式的綜合考查，做這一類型題目，需要熟練掌握公式．