Question

在二項式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式中，前三項的系數成等差數列，把展開式中所有的項重新排成一列，則有理項都不相鄰的概率為（　　）

• A、

  1

  6

• B、

  1

  4

• C、

  1

  3

• D、

  5

  12

Answer 1

分析：求出二項展開式的通項，求出前三項的系數，列出方程求出n；求出展開式的項數；令通項中x的指數為整數，求出展開式的有理項；利用排列求出將9項排起來所有的排法；利用插空的方法求出有理項不相鄰的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．

解答：解：展開式的通項為Tr+1=(

1

2

)r

C

r n

x

2n-3r

4

∴展開式的前三項系數分別為

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

∵前三項的系數成等差數列
∴

C

1 n

=

C

0 n

+

1

4

C

2 n

解得n=8
所以展開式共有9項，
所以展開式的通項為Tr+1=(

1

2

)r

C

r 8

x

16-3r

4

=(

1

2

)r

C

r 8

x4-

3r

4

當x的指數為整數時，為有理項
所以當r=0，4，8時x的指數為整數即第1，5，9項為有理項共有3個有理項
所以有理項不相鄰的概率P=

A 6 6 A 3 7

A 9 9

=

5

12

．
故選D

點評：解決排列、組合問題中的不相鄰問題時，先將沒有限制條件的元素排起來；再將不相鄰的元素進行插空．