Question

如圖：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱DD₁的中點
（1）求證：BD₁∥平面AEC
（2）求證：AC⊥BD1．

Answer 1

分析：（1）欲證BD₁∥平面EAC，只需在平面EAC內找一條直線BD₁與平行，根據中位線定理可知EF∥D₁B，滿足線面平行的判定定理所需條件，即可得到結論；
（2）根據正方形的性質及正方體的幾何特征，結合線面垂直的性質，可得AC⊥BD，AC⊥D₁D，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面D₁DB，再由線面垂直的性質即可得到AC⊥BD₁

解答：證明：（1）連接BD交AC于F，連EF．（1分）
因為F為正方形ABCD對角線的交點，
所長F為AC、BD的中點．（3分）
在DDD₁B中，E、F分別為DD₁、DB的中點，
所以EF∥D₁B．（5分）
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．（7分）
（2）由正方形的性質可得AC⊥BD
又由正方體的幾何特征可得：D₁D⊥平面ABCD
又∵AC?平面ABCD
∴AC⊥D₁D
又∵D₁D∩BD=D
∴AC⊥平面D₁DB
∵BD₁?平面D₁DB
∴AC⊥BD₁

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質，熟練掌握空間線線，線面垂直及平行的判定定理，性質定理及幾何特征是解答此類問題的關鍵．