Question

已知函數，其最小正周期為．
（I）求f（x）的表達式；
（II）將函數f（x）的圖象向右平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，若關于x的方程g（x）+k=0，在區間上有且只有一個實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的表達式為2sin（2ωx+），再根據它的最小正周期為，求得ω=2，從而求得f（x）的表達式．
（Ⅱ）根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，可得，由題意可得函數y=g（x）與y=k在區間[0，]上有且只有一個交點，結合正弦函數的圖象求得實數k的取值范圍．
解答：解：（I）=．…（3分）
由題意知f（x）的最小正周期，，所以ω=2…（5分）
所以，…（6分）
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個個單位后，得到的圖象，
再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象．
所以…（9分）
因為0≤x≤，所以．
g（x）+k=0 在區間[0，]上有且只有一個實數解，即函數y=g（x）與y=k在區間[0，]上有且只有一個交點，
由正弦函數的圖象可知，或k=-1，
所以，或k=-1．…（12分）
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．