Question

已知函數f（x）=1-e^λx（λ∈R且λ≠0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）當x＞-1時，f(x)≥

x

x+1

恒成立，求出λ的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=1-e^λx（λ∈R且λ≠0），得f′（x）=-λe^λx，由此能討論f（x）的單調性．
（2）當x＞-1時，f（x）≥

x

x+1

恒成立等價于（x+1）e^λx-1≤0，設g（x）=（x+1）e^λx-1（x＞-1），則g（x）≤0恒成立，g（0）=0，g′（x）=（λx+λ+1）e^λx，若λ＞0，當x＞0時，有g（x）＞1×1-1=0，故g（x）≤0不恒成立，所以λ＜0，由g′（x）=0，得x0=-1-

1

λ

，由此列表討論得到當f（x）≥

x

x+1

在（-1，+∞）上恒成立時，λ=-1．

解答：解：（1）∵f（x）=1-e^λx（λ∈R且λ≠0），
∴f′（x）=-λe^λx，
當λ＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）是單調遞增；
當λ＞0時，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，+∞）是單調遞減．
（2）當x＞-1時，f（x）≥

x

x+1

恒成立等價于（x+1）e^λx-1≤0，
設g（x）=（x+1）e^λx-1（x＞-1），
則g（x）≤0恒成立，g（0）=0，
g′（x）=（λx+λ+1）e^λx，
若λ＞0，當x＞0時，有g（x）＞1×1-1=0，
故g（x）≤0不恒成立，
所以λ＜0，由g′（x）=0，得x0=-1-

1

λ

，

x	（-1，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↑	極大值	↓

當λ=-1時，x₀=0，g（x）在x=0取得最大值．
有g（x）≤g（0）=0，故g（x）≤0恒成立；
當-1＜λ＜0時，x₀＞0，g（x）在[0，x₀]單調增．
有g（x₀）＞g（0）=0，故g（x）≤0不恒成立；
當λ＜-1時，-1＜x₀＜0，g（x）在[x₀，0]單調減，
有g（x₀）＞g（0）=0，故g（x）≤0不恒成立．
所以當f（x）≥

x

x+1

在（-1，+∞）上恒成立時，λ=-1．

點評：本題考查函數單調性的討論和求不等式恒成立時實數值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的合理運用．