Question

已知函數f（x）=2

3

sin²（

π

4

+x）+2cos²x-

3

．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=3，f（c）=2，若向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式先利用二倍角的余弦函數公式化簡，去括號合并后，再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，再根據正弦函數的遞增區間列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的遞增區間；
（2）利用（1）化簡得到的f（x）化簡f（C）=2，根據C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數，再由兩向量共線，利用平面向量的數量積運算法則化簡后，利用正弦定理得到a與b的關系式，由c及cosC的值，利用余弦定理即可得到關于a與b的另一個關系式，聯立兩關系式即可求出a與b的值．

解答：解：（1）f（x）=2

3

sin²（

π

4

+x）+2cos²x-

3

=2

3

×

1-cos( π 2 +2x)

2

+2×

1+cos2x

2

-

3

=

3

（sin2x+1）+cos2x+1-

3

=

3

sin2x+cos2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴最小正周期T=

2π

2

=π，
∵正弦函數的遞增區間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得：-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
∴函數f（x）的遞增區間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]；
（2）∵f（C）=2sin（2C+

π

6

）+1=2，
∴sin（2C+

π

6

）=

1

2

，又C為三角形的內角，
∴C=

π

3

，
又∵向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，
∴sinB=2sinA，
根據正弦定理化簡得：b=2a①，又c=3，
根據余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=a²+b²-ab=9②，
聯立①②解得a=

3

，b=2

3

．

點評：此題考查了三角函數的恒等變換，三角函數的周期性及其求法，正弦、余弦定理以及平面向量的數量積的運算，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．