Question

（2010•桂林二模）曲線y=

1

2

x²-3lnx在點A（1，f（1）處的切線與坐標軸圍成的封閉圖形的面積為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  5

  4

• C．

  9

  16

• D．

  25

  16

Answer 1

分析：先求出函數的導函數y'=f'（x），從而求出f'（1）即為切線的斜率，然后求出直線在坐標軸上的截距，利用直角三角形的面積公式解之即可．

解答：解：∵y=f（x）=

1

2

x²-3lnx
∴f（1）=

1

2

，f'（x）=x-

3

x

則f'（1）=1-3=-2
∴曲線y=

1

2

x²-3lnx在點A（1，f（1）處的切線方程為y-

1

2

=-2（x-1）即4x+2y-5=0
令x=0得，y=

5

2

，令y=0得，x=

5

4

∴切線與坐標軸圍成的封閉圖形的面積為

1

2

×

5

2

×

5

4

=

25

16

故選D．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及直線與坐標軸圍成圖形的面積，屬于中檔題．