Question

（2010•桂林二模）在等比數列{a_n} 中，若a₁和a₂是一元二次方程x²-4x+3=0的兩個根，則a₅等于（　　）

• A．

  1

  27

• B．81
• C．81或

  1

  81

• D．81或

  1

  27

Answer 1

分析：法一：由a₁和a₂是一元二次方程x²-4x+3=0的兩個根，利用韋達定理求出兩個之和與兩根之積，聯立求出方程的兩個根，得出a₁和a₂的值，但是a₁和a₂的大小未知，故分兩種情況考慮，a₁和a₂是1和3，或3和1，利用等比數列的性質求出公比的值，根據等比數列的通項公式即可求出a₅的值；
法二：利用分解因式法求出已知一元二次方程的解，可得出a₁和a₂的值，根據a₁和a₂的大小未知，分兩種情況考慮，a₁和a₂是1和3，或3和1，利用等比數列的性質求出公比的值，根據等比數列的通項公式即可求出a₅的值．

解答：解：法一：∵a₁和a₂是一元二次方程x²-4x+3=0的兩個根，
∴a₁+a₂=4，a₁a₂=3，
∴a₁=1，a₂=3，或a₁=3，a₂=1，
∴公比q=3或

1

3

，
則a₅=a₁q⁴=81或

1

27

；
法二：x²-4x+3=0，
可化為：（x-1）（x-3）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴a₁=1，a₂=3，或a₁=3，a₂=1，
∴公比q=3或

1

3

，
則a₅=a₁q⁴=81或

1

27

．
故選D

點評：此題考查了一元二次方程的解法，韋達定理，等比數列的性質，以及等比數列的通項公式，利用分類討論的數學思想，由于a₁和a₂的大小未知，故分兩種情況考慮．