Question

如圖，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點E分有向線段所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當時，求雙曲線離心率c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：首先以AB的垂直平分線為γ軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系，記，其中為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，用定比分點坐標公式可求得x和y的表達式．設雙曲線方程，將點C、E坐標和e分別代入雙曲線方程聯立后求得e和h的關系式，根據λ的范圍求得e的范圍．
解答：解：如圖，以AB的垂直平分線為γ軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOγ，則CD⊥γ軸．
因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于γ軸對稱，
依題意，記，
其中為雙曲線的半焦距，h是梯形的高，
由定比分點坐標公式得，
．
設雙曲線的方程為，則離心率，
由點C、E在雙曲線上，將點C、E坐標和代入雙曲線的方程，得，①
．②
由①式得，③
將③式代入②式，整理得，
故
由題設得，，
解得，
所以，雙曲線的離心率的取值范圍為[]．
點評：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合應用數學知識解決問題的能力．