Question

已知函數f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）求證：不論a為何實數f（x）總是為增函數；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數； 
（3）在（2）條件下，解不等式：f(log

1

2

x-1)＞0．

Answer 1

分析：（1）對函數求導數，得f'（x）=

2xln2

(2x+1)2

，通過討論可得函數的導數在R上恒為正數，因此函數f（x）不論a為何實數總是為增函數；
（2）先用奇函數在R上有定義時，f（0）=0，解得a=

1

2

，再利用奇函數的定義驗證，得到當a=

1

2

時，f（x）為奇函數，符合題意；
（3）在（2）條件下，可得函數為奇函數且是R上的增函數，將原不等式變形為：f(log

1

2

x-1)＞f(0)，可得log

1

2

x-1＞0，解之即得原不等式的解集為：{x|0＜x＜

1

2

}．

解答：解：（1）對函數f(x)=a-

1

2x+1

求導數，得f'（x）=-

-2xln2

(2x+1)2

=

2xln2

(2x+1)2

，
∵（2^x+1）²＞0，2^x＞0，ln2＞0
∴f'（x）＞0在其定義域R上恒成立
∴不論a為何實數f（x）總是R上的增函數；
（2）∵f（x）定義域為R，
∴若函數為奇函數時，f（0）=a-

1

20+1

=0，即a=

1

2

當a=

1

2

時，f(x)=

1

2

-

1

2x+1

=

2x-1

2(2x+1)

，
∴f（-x）=

2-x-1

2(2-x+1)

=

1-2x

2(2x+1)

=-f（x），符合題意．
因此，當a=

1

2

時，f（x）為奇函數； 
（3）在（2）條件下，可得函數為奇函數且是R上的增函數
∴不等式f(log

1

2

x-1)＞0，即f(log

1

2

x-1)＞f(0)
可得log

1

2

x-1＞0，即log

1

2

x＞1，解之得0＜x＜

1

2

，
所以原不等式的解集為：{x|0＜x＜

1

2

}．

點評：本題借助于一個含有指數式的分式函數，研究了它的單調性與奇偶性，著重考查了基本初等函數的性質、利用導數研究函數的單調性等知識，屬于中檔題．