Question

函數f（x）的定義域D={x|x≠0}，且滿足對任意x₁，x₂∈D有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1），f（-1）的值．
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明．
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1，可得f（1），令x₁=x₂=-1，可得f（-1）
（2）令x₁=-1，x₂=x，根據f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（-x）=f（x），進而根據偶函數的定義，得到結論
（3）由f（4）=1，結合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（64）=3，進而可將不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3結合函數的單調性和奇偶性轉化為|（3x+1）•（2x-6）|≤64，且3x+1≠0，2x-6≠0，進而求出x的取值范圍

解答：解：（1）∵對任意x₁，x₂∈D有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
令x₁=x₂=1，則f（1•1）=f（1）+f（1）
解得f（1）=0
令x₁=x₂=-1，則f（-1•-1）=f（-1）+f（-1）
解得f（-1）=0
（2）f（x）為偶函數，證明如下：
令x₁=-1，x₂=x，
則f（-x）=f（-1）+f（x），
即f（-x）=f（x），
即f（x）為偶函數
（3）∵f（4）=1，
∴f（64）=3f（4）=3，
由f（3x+1）+f（2x-6）≤3得
f（3x+1）+f（2x-6）≤f（64）
∵f（x）為偶函數雙，又因為f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴|（3x+1）•（2x-6）|≤64，且3x+1≠0，2x-6≠0，
解各-

7

3

≤x≤5且x≠-

1

3

，x≠3
∴x的取值范圍為{x|-

7

3

≤x≤5且x≠-

1

3

，x≠3}

點評：本題考查的知識點是抽象函數的求值，抽象函數的奇偶性與抽象函數的單調性，難度中檔．