Question

某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元，計劃在一塊上、下兩底分雖為10m，20m的梯形空地上種植花木，如圖所示，AD∥BC，AC與BD相交于M．
（1）他們在△AMD和△BMC地帶上種植太陽花，單價為8元/m²，當(dāng)△AMD地帶種滿花后，共花了160元，請計算種滿△BMC地帶所需的費(fèi)用；
（2）在（1）的條件下，若其余地帶有玫瑰和茉莉花兩種花木可供選擇種，單價分別為12元/m²和10元/m²，問應(yīng)選擇種哪種花可以剛好用完所籌集的資金？

Answer 1

分析：（1）由已知中四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，根據(jù)三角形相似的引理，可得△AMD與△CMB相似，進(jìn)而根據(jù)面積比等于相似比，求出兩個三角形的面積比，結(jié)合已知中△AMD地帶種滿花后，共花了160元，即可得到種滿△BMC地帶所需的費(fèi)用；
（2）根據(jù)已知條件，我們計算出梯形的總面積后，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求出S_△AMB+S_△DMC的大小，計算此時每平面米上平均的資金，即可選擇適當(dāng)?shù)幕ǚN．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是梯形，AD∥BC
∴△AMD∽△CMB，
∴

S△AMD

S△CMB

=(

AD

BC

)2=

1

4

∵種滿△AMD地帶花費(fèi)160元，
∴S△AMD=

160

8

=20(m2)…（4分）
∴S_△CMB=80m²，
∴種滿△BMC地帶的花費(fèi)為80×8=640（元）…（6分）
（2）設(shè)△AMD，△BMC的高分別為h₁，h₂，梯形ABCD的高為h．
∵S△AMD=

1

2

×10h1=20，∴h₁=4（m）．又∵

h1

h2

=

1

2

，
∴h₂=8（m），h=h₁+h₂=12（m）…（9分）
∴S梯形ABCD=

1

2

(AD+BC)h=

1

2

×30×12=180(m2)
∴S_△AMB+S_△DMC=180-20-80=80（m²）
又∵160+640+80×10=1600（元）．
∴應(yīng)選擇種植茉莉花可剛好用完所籌集的資金．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)，梯形的幾何特征，其中相似圖形中線段比等于相似比，面積比等于相似比的平方，是相似三角形最常用的性質(zhì)．