Question

設A={x|x=a²+b²，a，b∈Z}，求證：
（1）若s，t∈A，則st∈A．
（2）若s，t∈A，t≠0，則

s

t

=p2+q2，其中p，q是有理數．

Answer 1

分析：（1）設出s、t，使其符合集合A中元素的形式，然后相乘判斷乘積是否符合集合A中元素的形式；
（2）（1）中證出了st∈A，然后把

s

t

分子分母同時乘以t，把表達式拆開后即可得證．

解答：解：（1）設s=a²+b²，t=c²+d²，則st=（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²=（ac+bd）²+（ad-bc）²
所以st∈A．
（2）由（1）得st∈A，所以可設st=m²+n²，又t≠0，所以

s

t

=

st

t2

=

m2+n2

t2

=(

m

t

)2+(

n

t

)2，
令p=

m

t

，q=

n

t

，則

s

t

=p2+q2，p，q為有理數．

點評：本題考查了元素與集合關系的判斷，考查了集合思想，訓練了判斷元素在集合內的方法，解答的關鍵是把涉及到的集合中的元素寫成對應的形式．