Question

在空間四邊形ABCD中，如圖所示．
（1）若E、F分別為AB、AD上的點且AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD，能推出EF∥平面BCD嗎？為什么？
（2）若E、F分別是AB、AD上的任一點，在何條件下能使EF∥平面BCD呢？

Answer 1

分析：（1）由AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD?EF∥BD?EF∥平面BCD
（2）EF∥BD?EF∥平面BCD，必須使EF在平面ABD內與BD無交點．

解答：解：（1）能．∵AE=

1

3

AB，AF=

1

3

AD，
∴

AE

AB

=

AF

AD

=

1

3

，
∴EF∥BD．
又BD∥平面BCD，EF∥平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（2）要使EF∥平面BCD，必須使EF在平面ABD內與BD無交點，
即EF∥BD，
故滿足條件

AE

AB

=

AF

AD

能使EF∥平面BCD．

點評：要證“線面平行”，只要證“線線平行”，故問題最終轉化為證線與線的平行．