Question

如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，，分別為的中點(diǎn)，.

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線垂直、線線平行、面面垂直、線面垂直和二面角的求法，可以運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法，也可以運(yùn)用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.方法一：第一問(wèn)，由于四邊形為正方形，所以是中點(diǎn)，在中，利用中位線得，利用面面垂直的判定得平面平面，在中，由已知得為等腰三角形，而是的中點(diǎn)，所以得，所以得平面，而，所以平面，所以垂直面內(nèi)的線，在中，利用勾股定理得，，所以利用線面垂直的判定得平面，所以垂直面內(nèi)的線；第二問(wèn)，由線面垂直平面，得面面垂直平面平面，由垂直兩個(gè)面的交線，所以平面，所以垂直面內(nèi)的線，在等腰三角形中，是中點(diǎn)，所以，從而得平面，所以垂直面內(nèi)的線，從而得是二面角的平面角，由已知中的邊的關(guān)系得出、的長(zhǎng)度，從而得出的值，再利用平方關(guān)系得出角的余弦值；方法二：第一問(wèn)，利用向量法，先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)，要證明，只需證明即可；第二問(wèn)，利用向量法求出面的法向量，面的法向量，再利用夾角公式求余弦值.
試題解析：解法一：（Ⅰ）設(shè)，連接,
分別是、的中點(diǎn)，則，     1分
已知平面，平面，所以平面平面，
又，為的中點(diǎn)，則，
而平面