Question

如圖，在正方體ABCD－中，點O為底面對角線AC與BD的交點．

　　(1)求證：BD⊥；

　　(2)求證：BD⊥平面；

　　(3)求二面角－BD－的平面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在正方體ABCD－中，底面ABCD是正方形，∴底面對角線BD⊥AC，易證四邊形是矩形． 　　∴AC∥，∴BD⊥． 　　(2)證明：∵⊥底面ABCD，且BD底面ABCD，∴BD⊥ 　　又∵BD⊥AC，AC平面，平面， 　　AC∩＝A∴BD⊥平面． 　　(3)設正方體的棱長為a，連結， 　　∵BD⊥平面平面， 　　平面，∴BD⊥，BD⊥． 　　∴∠為二面角的平面角． 　　由平面幾何知識可知△均為邊長是a的等邊三角形， 　　∴， 　　∴在△中，根據余弦定理，有cos∠． 　　分析(1)由于∥AC，故可以轉化證明BD⊥AC；(2)要證直線與平面垂直，只要證明直線與平面內兩條相交的直線垂直即可；(3)先根據二面角的平面角的作法做出平面角是關鍵，在△⊥BD，故O是棱上選取的最佳點．

提示：

從已知出發尋找有關的性質定理，再從求證出發聯想有關的判定定理，把綜合法與分析法結合起來使用，是順利找到證明途徑的有效方法，證明位置關系的一般思路有： 　　（1)要證線面平行，先證線線平行； 　　（2）要證面面平行，先證線面平行； 　　（3）要證線面垂直，先證線線垂直； 　　（4）要證面面垂直，先證線面垂直．