Question

設△ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，平面向量=（cosA，cosC），
=（c，a），=（2b，0），且•（-）=o．
（1）求角A的大小；
（2）當|x|≤A時，求函數f（x）=sinxcosx+sin²x的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由•（-）=o，結合平面向量=（cosA，cosC），=（c，a），=（2b，0），我們易求出A角的一個三角函數值，結合A是三角形的內角，我們易得到A的大小．
（2）根據三角函數的降次公式，我們易將函數f（x）=sinxcosx+sin²x的解析式進行化簡，然后根據|x|≤A，及正弦函數的性質，得到函數的值域．
解答：解：（I）∵•（-）=（cosA，cosC）•（c-2b，a）=（c-2b）cosA+acosC=0
∴（sinC-2sinB）cosA+sinAcosC=0
∴-2sinBcosA+sinB=0
∵sinB≠0
∴cosA=
又由A是三角形的內角，
∴A=
（II）f（x）=sinxcosx+sin²x=sin2x+•
=+sin2x-cos2x=+sin（2x-）
∵|x|≤A，A=
∴-≤x≤
∴-π≤2x-≤
∴-1≤sin（2x-）≤
∴≤+sin（2x-）≤
∴函數f（x）的值域為[，]
點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積的運算，三角函數給值求角，及正弦函數的定義域和值域，其中根據平面向量數量積的運算，根據•（-）=o，得到A的三角函數值是解答本題的關鍵．