Question

已知四面體的4條棱的長為2，2條棱的長為3，求它的體積．

Answer 1

分析：由給出的四面體的4條棱的長為2，2條棱的長為3，分兩類情況作出圖形，經求解可知，當兩條長為3的棱異面時，四面體不存在，當兩條長為3的棱共面時，把要求的四面體的體積轉化為兩個三棱錐的體積和，求出共同的底面積后代入棱錐體積公式求解．

解答：解：根據分析可知滿足題目條件的四面體有兩種情況，也就是棱長為3的棱共面和異面
（1）當棱長為3的棱異面時，四面體的圖形如左圖，
取BD的中點E，連接AE，CE，則AE⊥BD，CE⊥BD．
則VA-BCD=VB-AEC+VD-AEC=

1

3

S△AEC•BE+

1

3

S△AEC•DE
=

1

3

S△AEC•(BE+DE)=

1

3

S△AEC•BD
在直角三角形AEB和直角三角形CEB中，求得|CE|=|AE|=

7

2

，
∵|CE|+|AE|=

7

2

+

7

2

=

7

＜3=|AC|，所以三角形AEC并不存在，即這種情況的三棱錐也不存在．
（2）當棱長為3的棱共面時，四面體的圖形如右圖，
取BC中點E，則AE⊥BC，DE⊥BC，
則VA-BCD=VB-AED+VC-AED=

1

3

S△AED•BE+

1

3

S△AED•CE
=

1

3

S△AED•(BE+CE)=

1

3

S△AED•BC
在三角形AED中，AE=

3

，DE=2

2

，AD=2，
所以cos∠DAE=

22+( 3 )2-(2 2 )2

2×2× 3

=-

3

12

．
sin∠DAE=

1-(- 3 12 )2

=

141

12

．
所以S△AED=

1

2

AD•AE•sin∠DAE=

1

2

×2×

3

×

141

12

=

47

4

．
所以，VA-BCD=

1

3

S△AED•BC=

1

3

×

47

4

×2=

47

6

．

點評：本題考查了棱錐的體積，考查了分類討論的數學思想和數學轉化思想，能夠正確排除兩條長為3的棱異面時的情況是解答該題的關鍵．此題是中檔題