Question

拋物線y=-x²+4上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對稱，則k的取值范圍是

k＜-

2

2

或k＞

2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)兩對稱點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由條件可設(shè)AB方程為：y=-

1

k

x+m，與拋物線方程y=-x²+4消去y得關(guān)于x的一元二次方程，則△＞0①，由韋達(dá)定理可表示AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入y=kx+3得其縱坐標(biāo)，再代入AB方程得m與k的方程

7

2

=-

1

2k2

+m②，聯(lián)立①②即可求得k的取值范圍．

解答：解：設(shè)兩對稱點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線AB與直線y=kx+3對稱，
易知k≠0，設(shè)AB方程為：y=-

1

k

x+m，
由

y=- 1 k x+m y=-x2+4

得x2-

1

k

x+m-4=0，則△=(-

1

k

)2-4(m-4)＞0①，
x₁+x₂=

1

k

，則AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

1

2k

，代入y=kx+3得y=k•

1

2k

+3=

7

2

，所以AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2k

，

7

2

），
又中點(diǎn)在直線AB上，所以

7

2

=-

1

k

•

1

2k

+m，即

7

2

=-

1

2k2

+m②，
由②得m=（

7

2

+

1

2k2

），代入①解得k＜-

2

2

或k＜-

2

2

，
所以k的取值范圍為：k＜-

2

2

或k＜-

2

2

．
故答案為k＜-

2

2

或k＜-

2

2

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查軸對稱問題，本題采用“方程、不等式”法，解決本題的關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)式子充分刻畫條件：兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱．