Question

觀察等式sin215°+sin275°+sin245°=

3

2

，sin210°+sin270°+sin250°=

3

2

，請寫出與以上等式規律相同的一個一般化的正確等式，并給予證明．

Answer 1

分析：分析已知條件中：sin215°+sin275°+sin245°=

3

2

，sin210°+sin270°+sin250°=

3

2

，我們可以發現等式左邊參加累加的三個均為正弦的平方，且三個角組成一個以60°為公差的等差數列，右邊是常數，由此不難得到結論．

解答：解：一般化的正確等式為sin2x°+sin2(60°+x°)+sin2(60°-x°)=

3

2

．（5分）
證明：sin²x°+sin²（60°+x°）+sin²（60°-x°）
=

1-cos(2x)°

2

+

1-cos(120°+(2x)°)

2

+

1-cos(120°-(2x)°)

2

（8分）
=

1-cos(2x)°

2

+

1-cos120°cos(2x)°+sin120°sin(2x)°

2

+

1-cos120°cos(2x)°-sin120°sin(2x)°

2

（12分）
=

1-cos2x°+1+ 1 2 cos2x°+1+ 1 2 cos2x°

2

=

3

2

．（14分）

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想），（3）論證．